『自然数累計における末尾数の回帰的対称性に関する考察』
著者：高田 勝成
【概要】自然数の総和（三角数 $( T_n = sum_{k=1}^{n} k $)）を十進法における剰余類（( $text{mod } 10 $)）として展開した際、そこには単純な反復を超えた、鏡面的な対称性を伴う「呼吸周期」が存在する。本稿では、周期 $( 20 $) の中に潜む、順方向および逆方向への交互循環構造を明らかにする。
【数理的定義と循環】数列 $( S = {T_n pmod{10} mid n = 0, 1, 2, dots} $) は以下の $( 20 $) 項を基本周期として無限に回帰する。
$[ 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0 $]
この数列の特筆すべき点は、中心点（$( n=10 $)）を軸とした対称性にある。
$[ T_n equiv T_{20-n} pmod{10} $]
この特性により、数列は $( 0 $) から始まり $( 5 $) の「静止点」を経て再び $( 0 $) へと回帰する、あたかも生命が息を吸い込み、そして吐き出すかのような「数理的呼吸」を描くのである。
A Study on the Recursive Symmetry of Last Digits in the Summation of Natural Numbers
Author: Katsunari Takada
[Abstract] When the sum of natural numbers (triangular numbers, $( T_n = sum_{k=1}^{n} k $)) is expanded as a residue class in decimal notation (( $text{mod } 10 $)), there exists a "respiration cycle" accompanied by mirror-like symmetry that transcends mere repetition. This paper elucidates the alternating cyclic structure between forward and backward directions hidden within a period of $( 20 $).
[Mathematical Definition and Recurrence] The sequence $( S = {T_n pmod{10} mid n = 0, 1, 2, dots} $) recurs infinitely with the following $( 20 $) terms as the fundamental period:
$[ 0, 1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0 $]
The most remarkable feature of this sequence lies in its symmetry centered around the midpoint ($( n=10 $)):
$[ T_n equiv T_{20-n} pmod{10} $]
Due to this characteristic, the sequence begins at $( 0 $), passes through the "point of stillness" at $( 5 $), and returns to $( 0 $) once more—drawing a "mathematical respiration," as if a living entity is inhaling and exhaling.
